湖北成考网(www.hbckw.com)整理了:2023年湖北高考数学必会题型四的相关内容,让我们一起来看一看吧。
2023年湖北高考生正在努力备考中,湖北成考网整理了2023年湖北高考数学必会题型,希望对大家的复习有帮助。
函数与方程的转化
例1设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点的个数为________.
破题切入点将函数的零点问题转化为对应方程根的问题.
答案7
解析由y=2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,
如图画出f(x)的图象,由f(x)=知有4个根, 由f(x)=1知有3个根,故函数y=2f2(x)-3f(x)+1共有7个零点.
题型二函数与不等式的转化
例2已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{xx<-1或x>},则f(10x)>0的解集为________.
破题切入点由题意,可得f(10x)>0等价于-1<10x<,由指数函数的单调性即可求解.
答案{xx<-lg>0的解集为{x-10等价于-1<10x<, 10x=>-1, 而10x<可化为10x<10, 即10x<10-lg 2. 由指数函数的单调性可知x<-lg 2.
题型三方程与不等式的转化
例3已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围;
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
破题切入点将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内,转化为不等式(组)进行求解.
解 (1)由条件,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如右图所示, 得 即-0},且A∩B=,则实数p的取值范围是________.
答案(-4,+∞) 解析当A=时,Δ=(p+2)2-4<0, ∴-4-4.
2.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上的最大值为3,最小值为2,则m的取值范围为________.
答案[1,2] 解析∵f(x)=(x-1)2+2,其对称轴为x=1,当x=1时,f(x)min=2,故m≥1,又∵f(0)=3,f(2)=3,∴m≤2.综上可知1≤m≤2.
3.方程x2-x-m=0在x∈[-1,1]上有实根,则m的取值范围是________.
答案[-,] 解析m=x2-x=2-,x∈[-1,1]. 当x=-1时,m取最大值为, 当x=时,m取最小值为-,∴-≤m≤.
4.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的实数解,则a的取值范围是________.
答案(0,1) 解析 设t=f(x), 则方程为t2-at=0, 解得t=0或t=a, 即f(x)=0或f(x)=a.
如图,作出函数f(x)的图象, 由函数图象,可知f(x)=0的解有两个, 故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的解, 则方程f(x)=a的解必有三个,此时00,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0, .= 4-a=>0,故00时,f(x)在[-1,1]上有零点的条件是解得a>. 综上,实数a的取值范围为.
10.已知定义在R上的单调递增奇函数f(x),若当0≤θ≤时,f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0恒成立,则实数m的取值范围是________. 答案(-,+∞)
解析
方法一f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0f(cos2θ+2msin 0= .=>-2,此时m∈R;
当0≤θ<时,m>-,令t=1-sin θ,
则t∈(0,1],此时m>-×=-(t+-2).
设φ(t)=-(t+-2),
而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(-∞,-],
故m>-.
方法二同方法一,求得2m(1-sin θ)>-1-sin2θ,
设sin θ=t,则t2-2mt+2m+1>0对于t∈[0,1]恒成立.
设g(t)=t2-2mt+2m+1,其图象的对称轴方程为t=m.
①当m<0时,g(t)在[0,1]上单调递增, 1=>0,即m>-,
又m<0,所以-0,即m2-2m-1<0, 1=2>0恒成立,所以m>1.
综合①②③,可知m>-.
11.已知函数f(x)=2asin2x-2 asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域是,值域是[-5,1],求常数a,b的值.
解f(x)=2a·(1-cos 2x)- asin 2x+a+b
=-2a+2a+b
=-2asin+2a+b,
又∵0≤x≤,
∴≤2x+≤π,
∴-≤sin≤1.
因此,由f(x)的值域为[-5,1]
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