湖北成考网(www.hbckw.com)整理了:2023年湖北高考数学必会题型五的相关内容,让我们一起来看一看吧。
2023年湖北高考生正在努力备考中,湖北成考网整理了2023年湖北高考数学必会题型,希望对大家的复习有帮助。 利用基本不等式求解最大值、最小值问题 例1(1)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为________. (2)函数y=的最大值为________. 破题切入点(1)利用基本不等式确定取得最小值时x,y,z之间的关系,进而可求得x+2y-z的最大值. (2)可采用换元法,将函数解析式进行变形,利用基本不等式求解最值. 答案(1)2(2) 解析(1)==+-3≥2-3=1, 当且仅当x=2y时等号成立, 因此z=4y2-6y2+4y2=2y2, 所以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2. (2)令t= ≥0,则x=t2+1, 所以y==. 当t=0,即x=1时,y=0; 当t>0,即x>1时,y=, 因为t+≥2=4(当且仅当t=2时取等号), 所以y=≤, 即y的最大值为(当t=2,即x=5时y取得最大值). 题型二利用基本不等式求最值的综合性问题 例2如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上. (1)求曲线C的方程及t的值; (2)记d=,求d的最大值. 破题切入点(1)依条件,构建关于p,t的方程; (2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系,并表示弦AB的长度,运用函数的性质或基本不等式求d的最大值. 解(1)y2=2px(p>0)的准线x=-, ∴1-(-)=,p=, ∴抛物线C的方程为y2=x. 又点M(t,1)在曲线C上,∴t=1. (2)由(1)知,点M(1,1),从而n=m,即点Q(m,m), 依题意,直线AB的斜率存在,且不为0, 设直线AB的斜率为k(k≠0). 且A(x1,y1),B(x2.y2), 由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故k·2m=1, 所以直线AB的方程为y-m=(x-m), 即x-2my+2m2-m=0. 由消去x, 整理得y2-2my+2m2-m=0, 所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m. 从而AB= ·y1-y2 =· =2 ∴d==2≤m+(1-m)=1, 当且仅当m=1-m,即m=时,上式等号成立. 又m=满足Δ=4m-4m2>0,∴d的最大值为1. 总结提高(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时,注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点.在具体题目中,一般很少直接考查基本不等式的应用,而是需要将式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本不等式求出最值. (2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”,所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.若连续使用基本不等式求最值,必须保证两次等号成立的条件一致,否则最值就取不到. 1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a=0,∴v>a. 2.若函数f(x)=x+ (x>2)在x=a处取最小值,则a=________. 答案3 解析∵x>2,∴f(x)=x+=x-2++2 ≥2+2=4, 当且仅当x-2=,即x=3时等号成立,即a=3,f(x)min=4. 3.(2023·南通模拟)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为________. 答案4 解析因为3a·3b=3,所以a+b=1. +=(a+b)=2++ ≥2+2 =4,当且仅当=, 即a=b=时等号成立. 4.已知m=a+(a>2),n=x-2(x≥),则m与n之间的大小关系为________. 答案m≥n 解析m=a+=(a-2)++2≥4(a>2), 当且仅当a=3时,等号成立.由x≥得x2≥, ∴n=x-2=≤4即n∈(0,4],∴m≥n. 5.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________. 答案2 解析∵x>0,y>0, ∴x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号). 又由x+2≤λ(x+y)可得λ≥, 而≤=2, ∴当且仅当x=2y时,max=2. ∴λ的最小值为2. 6.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为________. 答案16 解析因为a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(+)(3a+b)=10++恒成立. 因为+≥2 =6, 当且仅当a=b时等号成立,所以10++≥16, 所以m≤16,即m的最大值为16. 7.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________. 答案18 解析∵x>0,y>0,2x+y+6=xy, ∴2+6≤xy,即xy-2-6≥0, 解得xy≥18. ∴xy的最小值是18. 8.已知a>0,b>0,函数f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab是偶函数,则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________. 答案16 解析根据函数f(x)是偶函数可得ab-a-4b=0,函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab-a-4b=0,得ab=a+4b≥4,解得ab≥16(当且仅当a=8,b=2时等号成立),即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16. 9.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________. 答案 解析∵a≥=对任意x>0恒成立,设u=x++3,∴只需a≥恒成立即可. ∵x>0,∴u≥5(当且仅当x=1时取等号). 由u≥5知0<≤,∴a≥. 1=t,则x=t-1(t 2=1, .= y=2x-5x2=x(2-5x)=·5x·(2-5x). 5x=2-5x,即x=时,ymax=.>0), ∴y= =t++5≥2 +5=9. 当且仅当t=,即t=2,且此时x=1时,取等号, ∴ymin=9. 11.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2 (k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 解(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0, 由实际意义和题设条件知x>0,又k>0, 故x==≤=10, 当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a>0,所以炮弹可击中目标存在k>0, 使3.2=ka-(1+k2)a2成立 关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根 判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥00
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